HISTORIA DEL CÁLCULO

 HISTORIA DEL CÁLCULO

Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton (1642--1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716). De manera diferente pero independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y con éxito parcial desde la Antigüedad. Antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: Gilles de Roberval (1602--1675), Johannes Kepler (1571--1630), René Descartes (1596--1650), Pierre de Fermat (1601--1665), Galileo Galilei (1564--1642), Christian Huygens (1629--1695, amigo de Leibniz), John Wallis (1616--1703, amigo de Newton), Bonaventura Cavalieri (1598--1647, discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli (1608--1647, discípulo de Galileo), Isaac Barrow (1630--1677, maestro de Newton). 

  Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat.

 La construcción del Cálculo fue parte importante de la Revolución Científica que vivió la Europa del siglo XVII. Aparte de los nombres que hemos mencionado, los de William Harvey (1578--1657), Francis Bacon (1561--1626), Pierre Gassendi (1592--1655), Robert Boyle (1627--1691), Robert Hooke (1635--1703) están vinculados a grandes contribuciones en la anatomía, la física, la química y los nuevos métodos en el conocimiento.

  Los nuevos métodos enfatizaban la experiencia empírica y la descripción matemática en nuestra relación con la realidad. La Revolución Científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV d.C. Estas ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma protestante. Los cambios intelectuales, culturales, políticos y sociales, que se dieron en el Renacimiento y, al mismo tiempo, aquellos que se cristalizaron en la revolución científica y matemática, constituyeron los fundamentos de la sociedad occidental moderna. En esa medida el Cálculo Diferencial e Integral está en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad del que, esencialmente, somos parte. 

Para mediados de 1600 y principios de 1700 aparece el más grande matemático inglés: Isaac Newton (1642 - 1727). Su libro Principia Mathemathica, considerado como uno de los más grandes aportes de la mente humana al mundo científico. En este trabajo formuló las leyes de la mecánica y de la gravitación, y estableció los fundamentos de gran parte de la investigación de las ciencias físicas a partir de entonces. El trabajo de Newton sobre cálculo permaneció en forma de manuscrito durante mucho tiempo. La descripción más extensa de sus métodos, De Methodis Serierum et Fluxionum, la escribió en 1671, pero publicada en 1736, nueve años después de su muerte. Descubrió, simultáneamente con Leibnitz, el Cálculo Diferencial e Integral, basándose en los trabajos de Kepler e Isaac Barrow. Barrow fue un teólogo y profesor de matemáticas que vio en Newton una habilidad mayor que la suya propia y cedió su cátedra cuando Newton sólo tenía 26 años de edad. Newton también hizo aportes a la teoría del color, la ley de gravitación universal y otras ramas de la física. 

El otro gran matemático contemporáneo de Newton, fue el alemán Gottfried Leibnitz (1646 - 1716). Dominó toda la filosofía y ciencia de la época. Como Descartes, cuyos trabajos estudió, Leibnitz investigó un método universal que lo hiciera llegar a la verdad y comprender su naturaleza. Hizo desarrollos en análisis combinatorio y pretendía que la matemática fuera simbólica, por ejemplo, a él le debemos los nombres de cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos usuales ,para la derivada e integral, respectivamente. El término función y el uso constante de = (para la igualdad), son otras de sus contribuciones. En parte debido a su simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra. Su primer trabajo publicado acerca del cálculo, fue en 1684 en la revista Acta Eruditorum. Leibnitz era un pensador más abstracto y filosófico, mientras que Newton lo movía principalmente el deseo de comprender el mundo físico. Otro matemático de esta época es Johann Bernoulli (1667 - 1748). Se considera el más famoso de una familia entera de productivos matemáticos. Por lo menos ocho matemáticos prominentes del siglo XVIII tenían el apellido suizo de Bernoulli y se dice que todavía hay matemáticos activos de ese linaje. Johann y Jacques fueron, después de Newton y Libnitz, los más importantes padres fundadores del cálculo. Los Bernoulli abordaron toda clase de problemas básicos de cálculo, incluyendo puntos de inflexión, longitud de curvas, series infinitas y técnicas de integración. Johann escribió el primer libro de texto de cálculo entre 1691 y 1692, pero la parte relativa a cálculo integral no se publicó sino hasta 1742, mientras la de cálculo diferencial se había hecho en 1724. Podemos destacar que Johann Bernoulli tuvo como discípulo al famoso Leonhard Euler. 

Entre 1700 y 1800 (siglo de oro de la matemática), aparecen una serie de matemáticos sobresalientes como Leonhard Euler (1707 - 1783), matemático suizo, que hizo aportes a los números complejos, a la Mecánica, al Cálculo, a las Ecuaciones Diferenciales, etc. Su numerosa obra se estima que es alrededor de 75 libros, a pesar de que los últimos diecisiete años de su vida estuvo ciego. Su trabajo matemático continuó, sin disminuir tanto en cantidad como en excelencia, hasta el mismo día de su muerte. Euler escribió algunos libros sobre cálculo, cuya influencia fue muy grande ; el primero, Introductio in analysis infinitorum se publicó en 1748, y le siguieron otros volúmenes en 1755 y 1768. Introductio fue el primer texto de cálculo en el cual las funciones ocuparon un lugar central. En él, Euler aclaró que los logaritmos, los exponenciales, los senos y cosenos se deben considerar como funciones y no como resultado de una construcción geométrica. Euler contribuyó en el cálculo con su aporte de las funciones trascendentes, en particular, introdujo la base e de los logaritmos naturales y demostró que e y e2 son irracionales y además, descubrió la notable relación e-ip= -1. Por esta misma época vivió Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813), matemático nacido en Italia pero de padres franceses. A los 19 años fue nombrado profesor de matemáticas en la Real Escuela de Artillería de Turín. Su obra fundamental Traité de Mécanique Analytique, se publicó en 1788. Este libro, notable por su completa escasez de diagramas, unificó la mecánica. Cuando Lagrange envió a Euler algunos de sus descubrimientos, el famoso matemático reconoció de inmediato la brillantez del joven y pospuso la publicación de algunos de sus propios trabajos para que Lagrange pudiera publicar primero. La carrera de Lagrange fue ilustre, incluyendo 20 años como matemático de la corte de Federico el Grande en Berlín, donde también fue seleccionado para suceder a Euler en la Academia de Ciencias en 1766. Más tarde fue llamado por la Academia de Ciencias de París en 1787. Otro matemático que dio grandes frutos por esta época, fue Pierre Simon Laplace (1749 - 1827). Pertenecía a la nobleza francesa con el título de marqués. Fue profesor de la Escuela Militar de París. Organizó la Escuela Politécnica y la Escuela Normal Superior. Su obra más famosa es Mécanique Celeste. Posiblemente el matemático más notorio de este período fue Carl F Gauss (1777 - 1855). Matemático alemán, llamado el Príncipe de las Matemáticas. A la edad de 15 años, comenzó a concebir la idea de la geometría no euclidiana, y a los 18, inventó el método de mínimos cuadrados resolviendo un problema en sus trabajos de astronomía. Además, a los 19 años, resolvió un problema de 2000 años de antigüedad al construir con regla y compás un polígono regular de 17 lados. Realizó estudios profundos sobre Aritmética Superior. En su tesis doctoral en 1799, dio la primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra. Su obra principal fue el Disquisitione Arithmeticae publicado en 1801, aunque estaba terminado en 1798, y es el libro más influyente de todos los tiempos sobre teoría de números. En cálculo, su obra culminante sobre superficies curvas, incluye el teorema de la divergencia que aparece en el estudio de flujos en campos vectoriales. 

Para finales de 1700 y principios de 1900 aparece un fuerte desarrollo en el Análisis, con matemáticos como el francés Agustín Louis Cauchy (1789 - 1857), que fue uno de los pioneros en establecer el concepto de límite desde el punto de vista riguroso, como se estudia ahora. Los límites y las operaciones con límites los emplearon libremente en el siglo XVII Fermat, Newton, Leibnitz y otros. Sin embargo, el concepto no estaba completamente comprendido en esa época, ni tampoco muchos años después. Durante el siglo XVIII avanzaron enormemente los métodos y las aplicaciones del cálculo, pero la idea fundamental implícita de límite permaneció imprecisa. Con la definición precisa de límite, el cálculo dio un paso gigantesco en una firme fundamentación lógica, y le siguieron términos como el de función continua, aunque en un sentido distinto al actual. El sacerdote Bernhard Bolzano (1781 - 1848), fue quien dio la definición esencialmente moderna de continuidad y desarrolló algunas de sus consecuencias en un trabajo escrito en 1817. Desafortunadamente su obra, que se publicó en Praga en forma privada no se le dio difusión, casi no recibió atención durante muchos años. Cauchy empleó la misma definición algunos años después en sus libros publicados en 1821, 1822 y 1829 y fue a través de él que se conoció ampliamente la noción de continuidad. Sin embargo, la comprensión completa del concepto siguió siendo obscuro, hasta para un matemático tan grande como Cauchy. Pasaron varios años más para poder resolver algunas de las preguntas sin respuesta asociadas con esta profunda idea. Es así como el matemático alemán, Karl Weierstrass (1815 - 1897), maestro de escuela y más tarde, profesor de la Universidad de Berlín, quien formula las definiciones de límite y continuidad en términos de desigualdades y cantidades pequeñas como e y d . Puede considerarse a Weierstrass el verdadero padre del Análisis Moderno, pues influyó para aclarar los conceptos subyacentes del cálculo. Hizo pocas publicaciones, gran parte de su trabajo se conserva sólo a través de las notas que tomaron sus estudiantes. Su construcción de una función continua, pero no derivable en punto alguno conmocionó al mundo matemático de la época. A pesar de que Cauchy fue pionero en analizar convergencia de series, fue Weierstrass quien desarrolló una teoría completa de series de funciones y estableció la legitimidad de operaciones tales como la integración y derivación término a término, en las series. 

Otro hecho que tiene sus bases en el concepto de límite es de integral definida. Fue Georg Bernhard Riemann (1826 - 1866) quién dio los fundamentos y una definición moderna de integral definida. Con base en esta definición se proporcionó elementos nuevos en el cálculo de áreas de regiones planas y obtención de volúmenes de sólidos de revolución. Riemann también contribuyó al desarrollo de la variable compleja e inicia un estudio profundo de lo que hoy se llama topología y emprende en geometría un desarrollo que iba a culminar más tarde con la teoría de la relatividad de Albert Einstein . Más recientemente, podemos considerar a Henry Lebesgue (1875 - 1941) quién hizo aportes modernos al cálculo con sus trabajos sobre Integral, Length y Área . Esta obra abría la puerta a la teoría moderna de integración en una y n dimensiones. La Integral de Lebesgue produce una hermosa extensión de la integral de Riemann, concordando con ésta siempre que exista, pero haciendo integrables muchas más funciones. La obra de Lebesgue también hizo progresar la teoría de integrales múltiples. En su tesis de 1902 dio condiciones simples que permitieron que las integrales múltiples se escribiesen como integrales iteradas, resultados que más tarde fueron perfeccionados por su contemporáneo Guido Fubini (1879 - 1943).